По наклонной плоскости углом. Проецирование сил

Букина Марина, 9 В

Движение тела по наклонной плоскости

с переходом на горизонтальную

В качестве исследуемого тела я взяла монету достоинством 10 рублей (грани ребристые).

Технические характеристики:

Диаметр монеты – 27,0 мм;

Масса монеты - 8,7 г;

Толщина - 4 мм;

Монета изготовлена из сплава латунь-мельхиор.

За наклонную плоскость я решила принять книгу длиной 27 см. Она и будет являться наклонной плоскостью. Горизонтальная же плоскость неограниченная, т. к. цилиндрическое тело, а в дальнейшем монета, скатываясь с книги, будет продолжать свое движение на полу (паркетная доска). Книга поднята на высоту 12 см от пола; угол между вертикальной плоскостью и горизонтальной равен 22 градусам.

В качестве дополнительного оборудования для измерений были взяты: секундомер, линейка обыкновенная, длинная нить, транспортир, калькулятор.

На Рис.1. схематичное изображение монеты на наклонной плоскости.

Выполним пуск монеты.

Полученные результаты занесем в таблицу 1

Таблица 1

Траектория движения монеты во всех опытах была различна, но некоторые части траектории были похожи. По наклонной плоскости монета двигалась прямолинейно, а при движении на горизонтальной плоскости – криволинейно.

На Рисунке 2 изображены силы, действующие на монету во время её движения по наклонной плоскости:

С помощью II Закона Ньютона выведем формулу для нахождения ускорения монеты (по Рис.2.):

Для начала, запишем формулу II Закона Ньютона в векторном виде.

Где - ускорение, с которым движется тело, - равнодействующая сила (силы, действующие на тело), https://pandia.ru/text/78/519/images/image008_3.gif" width="164" height="53">, на наше тело во время движения действуют три силы: сила тяжести (Fтяж), сила трения (Fтр) и сила реакции опоры (N);

Избавимся от векторов, при помощи проецирования на оси X и Y:

Где - коэффициент трения

Т. к. у нас нет данных о числовом значении коэффициента трения монеты о нашу плоскость, воспользуемся другой формулой:

Где S – путь, пройденный телом, V0- начальная скорость тела, а – ускорение, с которым двигалось тело, t – промежуток времени движения тела.

т. к. ,

в ходе математических преобразований получаем следующую формулу:

При проецировании этих сил на ось Х (Рис.2.) видно, что направления векторов пути и ускорения совпадают, запишем полученную форму, избавившись от векторов:

За S и t примем средние значения из таблицы, найдем ускорение и скорость (по наклонной плоскости тело двигалось прямолинейно равноускоренно).

https://pandia.ru/text/78/519/images/image021_1.gif" align="left" width="144" height="21">

Аналогично найдём ускорение тела на горизонтальной плоскости (по горизонтальной плоскости тело двигалось прямолинейно равнозамедленно)

R=1, 35 см, где R – радиус монеты

где - угловая скорость, -центростремительное ускорение, - частота обращения тела по окружности

Движение тела по наклонной плоскости с переходом на горизонтальную – прямолинейное равноускоренное, сложное, которое можно разделить на вращательное и поступательное движения.

Движение тела на наклонной плоскости является прямолинейным равноускоренным.

По II Закону Ньютона видно, что ускорение зависит только от равнодействующей силы (R), а она на протяжении всего пути по наклонной плоскости остается величиной постоянной, т. к. в конечной формуле, после проецирования II Закона Ньютона, величины, задействованные в формуле являются постоянными https://pandia.ru/text/78/519/images/image029_1.gif" width="15" height="17">поворота из некоторого начального положения.

Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе.

Факторы, влияющие на время движения тела

по наклонной плоскости

с переходом на горизонтальную

Зависимость времени от монет разного достоинства (т. е. имеющих разный d (диаметр)).

Таблица 2

Чем больше диаметр монеты, тем больше время её движения.

Зависимость времени от угла наклона

Пусть тело, способное вращаться (например, цилиндр), катится по наклонной плоскости. Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке касания А равна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плоскости. На вращающееся тело действуют: сила тяжести , сила нормальной реакции опорыи сила трения
(рис. 1.5). Векторы этих сил на рисунке показаны исходящими из их точек приложения. При отсутствии скольжения сила трения
есть сила трения покоя или сила трения сцепления.

.

В скалярной форме относительно оси х , направленной вдоль плоскости вниз, это уравнение имеет вид:

Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс С, обусловлено только силой трения, так как моменты сил нормальной реакции опоры и тяжести равны нулю, поскольку линии действия этих сил проходят через ось вращения. Поэтому уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

,

где I – момент инерции тела,
– угловое ускорение,r – радиус тела,
– момент силы трения. Следовательно:

(1.11)

Из выражений (1.10) и (1.11) имеем:

(1.12)

Применим закон сохранения энергии к движению цилиндра по наклонной плоскости. Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс этого тела и вращательного движения точек тела относительно оси, проходящей через центр масс:

, (1.13)

где ω – угловая скорость, которая связана со скоростью центра масс соотношением:

. (1.14)

При отсутствии скольжения сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси вращения А . Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не производит и не влияет на величину полной кинетической энергии скатывающегося тела. Роль силы трения сцепления сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение. При наличии силы трения сцепления работа силы тяжести идет на увеличение кинетической энергии не только поступательного, но и вращательного движения тела. Следовательно, закон сохранения энергии тела, катящегося по наклонной плоскости, запишется в виде:

, (1.15)

где кинетическая энергия Е к определяется по формуле (1.13), а потенциальная энергия Е п = mgh .

2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка (рис. 2.1.) представляет собой наклонную плоскость 1, высотой h и длиной l . В верхней точке плоскости установлен фиксирующий механизм 2; в нижней – контрольный датчик 3, соединенный с секундомером 4.

3. Порядок выполнения работы

1. Эксперимент с поступательно движущимся телом

Включить в сеть электронный блок посредством сетевого шнура.

Поместить тело (брусок) в фиксирующий механизм 2, при этом показания секундомера должны быть на нуле.

Отпустить тело, при этом оно будет скользить вниз вдоль наклонной плоскости. После того как тело коснется контрольного датчика 3, снять показания с секундомера. Опыт провести не менее пяти раз.

Измерить массу бруска m .

Измерить длину l и высоту h наклонной плоскости.

Данные занести в таблицу 1.

Таблица 1

11. Записать закон сохранения энергии для движущегося тела (1.9), проверить его выполнение с учетом силы трения для средних значений ,,
. Указать точность выполнения этого закона в процентном соотношении.

На наклонной плоскости длиной 13 м и высотой 5 м лежит груз массой 26 кг. Коэффициент трения равен 0,5. Какую силу надо приложить к грузу вдоль плоскости, чтобы втащить груз? чтобы стащить груз
РЕШЕНИЕ

Какую силу надо приложить для подъема вагонетки массой 600 кг по эстакаде с углом наклона 20°, если коэффициент сопротивления движению равен 0,05
РЕШЕНИЕ

При проведении лабораторной работы были получены следующие данные: длина наклонной плоскости 1 м, высота 20 см, масса деревянного бруска 200 г, сила тяги при движении бруска вверх 1 Н. Найти коэффициент трения
РЕШЕНИЕ

На наклонной плоскости длиной 50 см и высотой 10 см покоится брусок массой 2 кг. При помощи динамометра, расположенного параллельно плоскости, брусок сначала втащили вверх по наклонной плоскости, а затем стащили вниз. Найти разность показаний динамометра
РЕШЕНИЕ

Чтобы удерживать тележку на наклонной плоскости с углом наклона α, надо приложить силу F1 направленную вверх вдоль наклонной плоскости, а чтобы поднимать вверх, надо приложить силу F2. Найти коэффициент сопротивления
РЕШЕНИЕ

Наклонная плоскость расположена под углом α = 30° к горизонту. При каких значениях коэффициента трения μ тянуть по ней груз труднее, чем поднимать его вертикально
РЕШЕНИЕ

На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить, чтобы удержать этот груз? тянуть равномерно вверх? тянуть с ускорением 1 м/с2? Коэффициент трения 0,2
РЕШЕНИЕ

Автомобиль массой 4 т движется в гору с ускорением 0,2 м/с2. Найти силу тяги, если уклон равен 0,02 и коэффициент сопротивления 0,04
РЕШЕНИЕ

Поезд массой 3000 т движется вниз под уклон, равный 0,003. Коэффициент сопротивления движению равен 0,008. С каким ускорением движется поезд, если сила тяги локомотива равна: а) 300 кН; б) 150 кН; в) 90 кН
РЕШЕНИЕ

Мотоцикл массой 300 кг начал движение из состояния покоя на горизонтальном участке дороги. Затем дорога пошла под уклон, равный 0,02. Какую скорость приобрел мотоцикл через 10 с после начала движения, если горизонтальный участок дороги он проехал за половину этого времени? Сила тяги и коэффициент сопротивления движению на всем пути постоянны и соответственно равны 180 Н и 0,04
РЕШЕНИЕ

Брусок массой 2 кг находится на наклонной плоскости с углом наклона 30°. Какую силу, направленную горизонтально (рис. 39), надо приложить к бруску, чтобы он двигался равномерно по наклонной плоскости? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 0,3
РЕШЕНИЕ

Поместите на линейке небольшой предмет (резинку, монету и т. д.). Постепенно поднимайте конец линейки, пока предмет не начнет скользить. Измерьте высоту h и основание b полученной наклонной плоскости и вычислите коэффициент трения
РЕШЕНИЕ

С каким ускорением а скользит брусок по наклонной плоскости с углом наклона α = 30° при коэффициенте трения μ = 0,2
РЕШЕНИЕ

В момент начала свободного падения первого тела с некоторой высоты h второе тело стало скользить без трения с наклонной плоскости, имеющей ту же высоту h и длину l = nh. Сравнить конечные скорости тел у основания наклонной плоскости и время их движения.

Несмотря на другие условия движения принципиально решение задачи 8 ничем не отличается от решения задачи 7. Отличие состоит лишь в том, что в задаче 8 действующие на тело силы не лежат вдоль одной прямой, поэтому проекции необходимо взять на две оси.

Задача 8. Лошадь везет сани массой 230 кг, действуя на них с силой 250 Н. Какое расстояние пройдут сани, пока достигнут скорости 5,5 м/с, двигаясь из состояния покоя. Коэффициент трения скольжения саней о снег равен 0,1, а оглобли расположены под углом 20° к горизонту.

На сани действуют четыре силы: сила тяги (натяжения), направленная под углом 20° к горизонту; сила тяжести, направленная вертикально вниз (всегда); сила реакции опоры, направленная перпендикулярно опоре от нее, т. е. вертикально вверх (в данной задаче); сила трения скольжения, направленная против движения. Поскольку сани будут двигаться поступательно, все приложенные силы можно параллельно перенести в одну точку – в центр масс движущегося тела (саней). Через эту же точку проведем и оси координат (рис. 8).

На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :

.

Направим ось Ox горизонтально вдоль направления движения (см. рис. 8), а ось Oy – вертикально вверх. Возьмем проекции векторов, входящих в уравнение, на координатные оси, добавим выражение для силы трения скольжения и получим систему уравнений:

Решим систему уравнений. (Схема решения системы уравнений, подобных системе, обычно одинакова: из второго уравнения выражают силу реакции опоры и подставляют ее в третье уравнение, а затем выражение для силы трения подставляют в первое уравнение.) В результате получим:

Перегруппируем слагаемые в формуле и разделим ее правую и левую части на массу:

.

Поскольку ускорение не зависит от времени, выберем формулу кинематики равноускоренного движения, содержащую скорость, ускорение и перемещение:

.

Учитывая, что начальная скорость равна нулю, а скалярное произведение одинаково направленных векторов равно произведению их модулей, подставим ускорение и выразим модуль перемещения:

;

Полученное значение и есть ответ задачи, поскольку при прямолинейном движении пройденный путь и модуль перемещения совпадают.

Ответ : сани пройдут 195 м.

1. Движение по наклонной плоскости

Описание движения небольших тел по наклонной плоскости принципиально не отличается от описания движения тел по вертикали и по горизонтали, поэтому при решении задач на этот вид движения, как и в задачах 7, 8, также необходимо записать уравнение движения и взять проекции векторов на координатные оси. Разбирая решение задачи 9, необходимо обратить внимание на схожесть подхода к описанию различных видов движения и на нюансы, которые отличают решение этого типа задач от решения задач, рассмотренных выше.

Задача 9. Лыжник соскальзывает с длинной ровной заснеженной горки, угол наклона к горизонту которой составляет 30°, а длина равна 140 м. Сколько времени будет длиться спуск, если коэффициент трения скольжения лыж о рыхлый снег равен 0,21?

Движение лыжника по нак-лонной плоскости происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз; силы реакции опоры, направленной перпендикулярно к опоре; силы трения скольжения, направленной против движения тела. Пренебрегая размерами лыжника по сравнению с длиной горки, на основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения лыжника:

.

Выберем ось Ox вниз вдоль наклонной плоскости (рис. 9), а ось Oy – перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Возьмем проекции векторов уравнения на выбранные координатные оси с учетом того, что ускорение направлено вдоль наклонной плоскости вниз, и добавим к ним выражение, определяющее силу трения скольжения. Получим систему уравнений:

Решим систему уравнений относительно ускорения. Для этого из второго уравнения системы выразим силу реакции опоры и подставим полученную формулу в третье уравнение, а выражение для силы трения – в первое. После сокращения массы имеем формулу:

.

Ускорение не зависит от времени, значит, можно воспользоваться формулой кинематики равноускоренного движения, содержащей перемещение, ускорение и время:

.

С учетом того, что начальная скорость лыжника равна нулю, а модуль перемещения равен длине горки, выразим из формулы время и, подставляя в полученную формулу ускорение, получим:

;

Ответ : время спуска с горы 9,5 с.

Движение тела по наклонной плоскости - это классический пример движения тела под действием нескольких несонаправленных сил. Стандартный метод решения задач о такого рода движении состоит в разложении векторов всех сил по компонентам, направленным вдоль координатных осей. Такие компоненты являются линейно независимыми. Это позволяет записать второй закон Ньютона для компонент вдоль каждой оси отдельно. Таким образом второй закон Ньютона, представляющий собой векторное уравнение, превращается в систему из двух (трех для трехмерного случая) алгебраических уравнений.

Силы, действующие на брусок,
случай ускоренного движения вниз

Рассмотрим тело, которое соскальзывает вниз по наклонной плоскости. В этом случае на него действуют следующие силы:

• Сила тяжести mg , направленная вертикально вниз;
• Сила реакции опоры N , направленная перпендикулярно плоскости;
• Сила трения скольжения F тр, направлена противоположно скорости (вверх вдоль наклонной плоскости при соскальзывании тела)

При решении задач, в которых фигурирует наклонная плоскость часто удобно ввести наклонную систему координат, ось OX которой направлена вдоль плоскости вниз. Это удобно, потому что в этом случае придется раскладывать на компоненты только один вектор - вектор силы тяжести mg , а вектора силы трения F тр и силы реакции опоры N уже направлены вдоль осей. При таком разложении x-компонента силы тяжести равна mg sin(α ) и соответствует «тянущей силе», ответственной за ускоренное движение вниз, а y-компонента - mg cos(α ) = N уравновешивает силу реакции опоры, поскольку вдоль оси OY движение тела отсутствует.
Сила трения скольжения F тр = µN пропорциональна силе реакции опоры. Это позволяет получить следующее выражение для силы трения: F тр = µmg cos(α ). Эта сила противонаправлена «тянущей» компоненте силы тяжести. Поэтому для тела, соскальзывающего вниз , получаем выражения суммарной равнодействующей силы и ускорения:

F x = mg (sin(α ) – µ cos(α ));
a x = g (sin(α ) – µ cos(α )).

Не трудно видеть, что если µ < tg(α ), то выражение имеет положительный знак и мы имеем дело с равноускоренным движением вниз по наклонной плоскости. Если же µ > tg(α ), то ускорение будет иметь отрицательный знак и движение будет равнозамедленным. Такое движение возможно только в случае, если телу придана начальная скорость по направлению вниз по склону. В этом случае тело будет постепенно останавливаться. Если при условии µ > tg(α ) предмет изначально покоится, то он не будет начинать соскальзывать вниз. Здесь сила трения покоя будет полностью компенсировать «тянущую» компоненту силы тяжести.

Когда коэффициент трения в точности равен тангенсу угла наклона плоскости: µ = tg(α ), мы имеем дела с взаимной компенсацией всех трех сил. В этом случае, согласно первому закону Ньютона тело может либо покоиться, либо двигаться с постоянной скоростью (При этом равномерное движение возможно только вниз).

Силы, действующие на брусок,
скользящий по наклонной плоскости:
случай замедленного движения вверх

Однако, тело может и заезжать вверх по наклонной плоскости. Примером такого движения является движение хоккейной шайбы вверх по ледяной горке. Когда тело движется вверх, то и сила трения и «тянущая» компонента силы тяжести направлены вниз вдоль наклонной плоскости. В этом случае мы всегда имеем дело с равнозамедленным движением, поскольку суммарная сила направлена в противоположную скорости сторону. Выражение для ускорения для этой ситуации получается аналогичным образом и отличается только знаком. Итак для тела, скользящего вверх по наклонной плоскости , имеем.