Математический анализ. Высшая математика для чайников, или с чего начать? Что изучает математический анализ

Содержание статьи

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.

Начало математическому анализу положил в 1665 И.Ньютон и (около 1675) независимо от него Г.Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И.Кеплер (1571–1630), Ф.Кавальери (1598–1647), П.Ферма (1601–1665), Дж.Валлис (1616–1703) и И.Барроу (1630–1677).

Чтобы сделать изложение более живым, мы будем прибегать к языку графиков. Поэтому читателю, возможно, будет полезно заглянуть в статью АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ , прежде чем приступать к чтению данной статьи.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Касательные.

На рис. 1 показан фрагмент кривой y = 2x – x 2 , заключенный между x = –1 и x = 3. Достаточно малые отрезки этой кривой выглядят прямыми. Иначе говоря, если Р – произвольная точка этой кривой, то существует некоторая прямая, проходящая через эту точку и являющаяся приближением кривой в малой окрестности точки Р , причем чем меньше окрестность, тем лучше приближение. Такая прямая называется касательной к кривой в точке Р . Основная задача дифференциального исчисления заключается в построении общего метода, позволяющего находить направление касательной в любой точке кривой, в которой касательная существует. Нетрудно представить себе кривую с резким изломом (рис. 2). Если Р – вершина такого излома, то можно построить аппроксимирующую прямую PT 1 – справа от точки Р и другую аппроксимирующую прямую РТ 2 – слева от точки Р . Но не существует единственной прямой, проходящей через точку Р , которая одинаково хорошо приближалась к кривой в окрестности точки P как справа, так и слева, следовательно касательной в точке P не существует.

На рис. 1 касательная ОТ проведена через начало координат О = (0,0). Угловой коэффициент этой прямой равен 2, т.е. при изменении абсциссы на 1 ордината увеличивается на 2. Если x и y – координаты произвольной точки на ОТ , то, удаляясь от О на расстояние х единиц вправо, мы удаляемся от О на 2y единиц вверх. Следовательно, y /x = 2, или y = 2x . Это уравнение касательной ОТ к кривой y = 2x – x 2 в точке О .

Необходимо теперь объяснить, почему из множества прямых, проходящих через точку О , выбрана именно прямая ОТ . Чем же прямая с угловым коэффициентом 2 отличается от других прямых? Существует один простой ответ, и нам трудно удержаться от искушения привести его, используя аналогию с касательной к окружности: касательная ОТ имеет с кривой только одну общую точку, тогда как любая другая невертикальная прямая, проходящая через точку О , пересекает кривую дважды. В этом можно убедиться следующим образом.

Поскольку выражение y = 2x – x 2 можно получить вычитанием х 2 из y = 2x (уравнения прямой ОТ ), то значения y для графика оказываются меньше знаний y для прямой во всех точках, за исключением точки x = 0. Следовательно, график всюду, кроме точки О , расположен ниже ОТ , и эта прямая и график имеют только одну общую точку. Кроме того, если y = mx – уравнение какой-нибудь другой прямой, проходящей через точку О , то обязательно найдутся две точки пересечения. Действительно, mx = 2x – x 2 не только при x = 0, но и при x = 2 – m . И только при m = 2 обе точки пересечения совпадают. На рис. 3 показан случай, когда m меньше 2, поэтому справа от О возникает вторая точка пересечения.

То, что ОТ – единственная невертикальная прямая, проходящая через точку О и имеющая с графиком лишь одну общую точку, не самое главное ее свойство. Действительно, если мы обратимся к другим графикам, то вскоре выяснится, что отмеченное нами свойство касательной в общем случае не выполняется. Например, из рис. 4 видно, что вблизи точки (1,1) график кривой y = x 3 хорошо аппроксимируется прямой РТ , имеющей однако, с ним более одной общей точки. Тем не менее, нам хотелось бы считать РТ касательной к этому графику в точке Р . Поэтому необходимо найти какой-то иной способ выделения касательной, чем тот, который так хорошо послужил нам в первом примере.

Предположим, что через точку О и произвольную точку Q = (h ,k ) на графике кривой y = 2x – x 2 (рис. 5) проведена прямая (называемая секущей). Подставляя в уравнение кривой значения x = h и y = k , получаем, что k = 2h – h 2 , следовательно, угловой коэффициент секущей равен

При очень малых h значение m близко к 2. Более того, выбирая h достаточно близким к 0, мы можем сделать m сколь угодно близким к 2. Можно сказать, что m «стремится к пределу», равному 2, когда h стремится к нулю, или что предел m равен 2 при h , стремящемся к нулю. Символически это записывается так:

Тогда касательная к графику в точке О определяется как прямая, проходящая через точку О , с угловым коэффициентом, равным этому пределу. Такое определение касательной применимо в общем случае.

Покажем преимущества этого подхода еще на одном примере: найдем угловой коэффициент касательной к графику кривой y = 2x – x 2 в произвольной точке P = (x ,y ), не ограничиваясь простейшим случаем, когда P = (0,0).

Пусть Q = (x + h , y + k ) – вторая точка на графике, находящаяся на расстоянии h справа от Р (рис. 6). Требуется найти угловой коэффициент k /h секущей PQ . Точка Q находится на расстоянии

над осью х .

Раскрывая скобки, находим:

Вычитая из этого уравнения y = 2x – x 2 , находим расстояние по вертикали от точки Р до точки Q :

Следовательно, угловой коэффициент m секущей PQ равен

Теперь, когда h стремится к нулю, m стремится к 2 – 2x ; последнюю величину мы и примем за угловой коэффициент касательной PT . (Тот же результат получится, если h принимает отрицательные значения, что соответствует выбору точки Q слева от P .) Заметим, что при x = 0 полученный результат совпадает с предыдущим.

Выражение 2 – 2x называется производной от 2x – x 2 . В старину производную также называли «дифференциальным отношением» и «дифференциальным коэффициентом». Если выражением 2x – x 2 обозначить f (x ), т.е.

то производную можно обозначить

Для того, чтобы узнать угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x ) в какой-нибудь точке, необходимо подставить в f ў (x ) соответствующее этой точке значение х . Таким образом, угловой коэффициент f ў (0) = 2 при х = 0, f ў (0) = 0 при х = 1 и f ў (2) = –2 при х = 2.

Производную также обозначают у ў , dy /dx , D х y и Dу .

Тот факт, что кривая y = 2x – x 2 вблизи данной точки практически неотличима от ее касательной в этой точке, позволяет говорить об угловом коэффициенте касательной как об «угловом коэффициенте кривой» в точке касания. Такие образом, мы можем утверждать, что угловой коэффициент рассматриваемой нами кривой имеет в точке (0,0) угловой коэффициент 2. Можно также сказать, что при x = 0 скорость изменения y относительно x равна 2. В точке (2,0) угловой коэффициент касательной (и кривой) равен –2. (Знак минус означает, что при возрастании x переменная y убывает.) В точке (1,1) касательная горизонтальна. Мы говорим, что кривая y = 2x – x 2 имеет в этой точке стационарное значение.

Максимумы и минимумы.

Мы только что показали, что кривая f (x ) = 2x – x 2 стационарна в точке (1,1). Так как f ў (x ) = 2 – 2x = 2(1 – x ), ясно, что при x , меньших 1, f ў (x ) положительна, и, следовательно, y возрастает; при x , больших 1, f ў (x ) отрицательна, и поэтому y убывает. Таким образом, в окрестности точки (1,1), обозначенной на рис. 6 буквой М , значение у растет до точки М , стационарно в точке М и убывает после точки М . Такая точка называется «максимумом», поскольку значение у в этой точке превосходит любые его значения в достаточно малой ее окрестности. Аналогично, «минимум» определяется как точка, в окрестности которой все значения y превосходят значение у в самой этой точке. Может также случиться, что хотя производная от f (x ) в некоторой точке и обращается в нуль, ее знак в окрестности этой точки не меняется. Такая точка, не являющаяся ни максимумом, ни минимумом, называется точкой перегиба.

В качестве примера найдем стационарную точку кривой

Производная этой функции равна

и обращается в нуль при x = 0, х = 1 и х = –1; т.е. в точках (0,0), (1, –2/15) и (–1, 2/15). Если х чуть меньше –1, то f ў (x ) отрицательна; если х чуть больше –1, то f ў (x ) положительна. Следовательно, точка (–1, 2/15) – максимум. Аналогично, можно показать, что точка (1, –2/15) – минимум. Но производная f ў (x ) отрицательна как до точки (0,0), так и после нее. Следовательно, (0,0) – точка перегиба.

Проведенное исследование формы кривой, а также то обстоятельство, что кривая пересекает ось х при f (x ) = 0 (т.е. при х = 0 или ) позволяют представить ее график примерно так, как показано на рис. 7.

В общем, если исключить необычные случаи (кривые, содержащие прямолинейные отрезки или бесконечное число изгибов), существуют четыре варианта взаимного расположения кривой и касательной в окрестности точки касания Р . (См . рис. 8, на котором касательная имеет положительный угловой коэффициент.)

1) По обе стороны от точки Р кривая лежит выше касательной (рис. 8,а ). В этом случае говорят, что кривая в точке Р выпукла вниз или вогнута.

2) По обе стороны от точки Р кривая расположена ниже касательной (рис. 8,б ). В этом случае говорят, что кривая выпукла вверх или просто выпукла.

3) и 4) Кривая располагается выше касательной по одну сторону от точки Р и ниже – по другую. В этом случае Р – точка перегиба.

Сравнивая значения f ў (x ) по обе стороны от Р с ее значением в точке Р , можно определить, с каким из этих четырех случаев приходится иметь дело в конкретной задаче.

Приложения.

Все изложенное выше находит важные приложения в различных областях. Например, если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 200 футов в секунду, то высота s , на которой они будут находиться через t секунд по сравнению с начальной точкой составит

Действуя так же, как в рассмотренных нами примерах, находим

эта величина обращается в нуль при с. Производная f ў (x ) положительна до значения с и отрицательна по истечении этого времени. Следовательно, s возрастает до , затем становится стационарной, а после убывает. Таково общее описание движения брошенного вверх тела. Из него мы узнаем, когда тело достигает высшей точки. Далее, подставляя t = 25/4 в f (t ), мы получаем 625 футов, максимальную высоту подъема. В данной задаче f ў (t ) имеет физический смысл. Эта производная показывает скорость, с которой тело движется в момент времени t .

Рассмотрим теперь приложение другого типа (рис. 9). Из листа картона площадью 75 см 2 требуется изготовить коробку с квадратным дном. Каковы должны быть размеры этой коробки, чтобы она имела максимальный объем? Если х – сторона основания коробки и h – ее высота, то объем коробки равен V = x 2 h , а площадь поверхности равна 75 = x 2 + 4xh . Преобразуя уравнение, получаем:

Производная от V оказывается равной

и обращается в нуль при х = 5. Тогда

и V = 125/2. График функции V = (75x – x 3)/4 показан на рис. 10 (отрицательные значения х опущены как не имеющие физического смысла в данной задаче).

Производные.

Важная задача дифференциального исчисления – создание методов, позволяющих быстро и удобно находить производные. Например, несложно посчитать, что

(Производная от постоянной, разумеется, равна нулю.) Нетрудно вывести общее правило:

где n – любое целое число или дробь. Например,

(На этом примере видно, как полезны дробные показатели степени.)

Приведем некоторые важнейшие формулы:

Существуют также следующие правила: 1) если каждая из двух функций g (x ) и f (x ) имеет производные, то производная их суммы равна сумме производных этих функций, а производная разности равна разности производных, т.е.

2) производная произведения двух функций вычисляется по формуле:

3) производная отношения двух функций имеет вид

4) производная функции, умноженной на константу, равна константе, умноженной на производную этой функции, т.е.

Часто бывает, что значения функции приходится вычислять поэтапно. Например, чтобы вычислить sin x 2 , нам необходимо сначала найти u = x 2 , а затем уже вычислить синус числа u . Производную таких сложных функций мы находим с помощью так называемого «цепного правила»:

В нашем примере f (u ) = sin u , f ў (u ) = cos u , следовательно,

Эти и другие, аналогичные им, правила позволяют сразу же выписывать производные многих функций.

Линейные аппроксимации.

То обстоятельство, что, зная производную, мы можем во многих случаях заменить график функции вблизи некоторой точки ее касательной в этой точке, имеет огромное значение, поскольку с прямыми легче работать.

Эта идея находит непосредственное приложение в вычислении приближенных значений функций. Например, довольно трудно вычислить значение при x = 1,033. Но можно воспользоваться тем, что число 1,033 близко к 1 и что . Вблизи x = 1 мы можем заменить график кривой касательной, не совершая при этом сколько-нибудь серьезной ошибки. Угловой коэффициент такой касательной равен значению производной (x 1/3)ў = (1/3)x –2/3 при x = 1, т.е. 1/3. Так как точка (1,1) лежит на кривой и угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равен 1/3, уравнение касательной имеет вид

На этой прямой при х = 1,033

Полученное значение y должно быть очень близко к истинному значению y ; и, действительно, оно лишь на 0,00012 больше истинного. В математическом анализе разработаны методы, позволяющие повышать точность такого рода линейных приближений. Эти методы обеспечивают надежность наших приближенных вычислений.

Только что описанная процедура наводит на мысль об одном полезном обозначении. Пусть P – точка, соответствующая на графике функции f переменной х , и пусть функция f (x ) дифференцируема. Заменим график кривой вблизи точки Р касательной к нему, проведенной в этой точке. Если х изменить на величину h , то ордината касательной изменится на величину h Ч f ў (x ). Если h очень мало, то последняя величина служит хорошим приближением к истинному изменению ординаты y графика. Если вместо h мы напишем символ dx (это не произведение!), а изменение ординаты y обозначим dy , то получим dy = f ў (x )dx , или dy /dx = f ў (x ) (см . рис. 11). Поэтому вместо Dy или f ў (x ) для обозначения производной часто используется символ dy /dx . Удобство этого обозначения зависит главным образом от явного появления цепного правила (дифференцирования сложной функции); в новых обозначениях эта формула выглядит следующим образом:

где подразумевается, что у зависит от u , а u в свою очередь зависит от х .

Величина dy называется дифференциалом у ; в действительности она зависит от двух переменных, а именно: от х и приращения dx . Когда приращение dx очень мало, величина dy близка к соответствующему изменению величины y . Но предполагать, что приращение dx мало, нет необходимости.

Производную функции y = f (x ) мы обозначили f ў (x ) или dy /dx . Часто оказывается возможным взять производную от производной. Результат называется второй производной от f (x ) и обозначается f ўў (x ) или d 2 y /dx 2 . Например, если f (x ) = x 3 – 3x 2 , то f ў (x ) = 3x 2 – 6x и f ўў (x ) = 6x – 6. Аналогичные обозначения используются и для производных более высокого порядка. Однако, чтобы избежать большого количества штрихов (равного порядку производной) четвертую производную (например) можно записать как f (4) (x ), а производную n -го порядка как f (n ) (x ).

Можно показать, что кривая в точке выпукла вниз, если вторая производная положительна, и выпукла вверх, если вторая производная отрицательна.

Если функция имеет вторую производную, то изменение величины y , соответствующее приращению dx переменной х , можно приближенно вычислить по формуле

Это приближение, как правило, лучше, чем то, которое дает дифференциал f ў (x )dx . Оно соответствует замене части кривой уже не прямой, а параболой.

Если у функции f (x ) существуют производные более высоких порядков, то

Остаточный член имеет вид

где x – некоторое число между x и x + dx . Приведенный выше результат называется формулой Тейлора с остаточным членом. Если f (x ) имеет производные всех порядков, то обычно R n ® 0 при n ® Ґ .

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Площади.

При изучении площадей криволинейных плоских фигур открываются новые аспекты математического анализа. Такого рода задачи пытались решать еще древние греки, для которых определение, например, площади круга было одной из труднейших задач. Больших успехов в решении этой проблемы добился Архимед, которому также удалось найти площадь параболического сегмента (рис. 12). С помощью весьма сложных рассуждений Архимед доказал, что площадь параболического сегмента составляет 2/3 от площади описанного прямоугольника и, следовательно, в данном случае равна (2/3)(16) = 32/3. Как мы увидим в дальнейшем, этот результат можно легко получить методами математического анализа.

Предшественники Ньютона и Лейбница, главным образом Кеплер и Кавальери, решали задачи о вычислении площадей криволинейных фигур с помощью метода, который трудно назвать логически обоснованным, но который оказался чрезвычайно плодотворным. Когда же Валлис в 1655 соединил методы Кеплера и Кавальери с методами Декарта (аналитической геометрией) и воспользовался только что зародившейся алгеброй, сцена для появления Ньютона была полностью подготовлена.

Валлис разбивал фигуру, площадь которой требовалось вычислить, на очень узкие полоски, каждую из которых приближенно считал прямоугольником. Затем он складывал площади аппроксимирующих прямоугольников и в простейших случаях получал величину, к которой стремилась сумма площадей прямоугольников, когда число полосок стремилось к бесконечности. На рис. 13 показаны прямоугольники, соответствующие некоторому разбиению на полоски площади под кривой y = x 2 .

Основная теорема.

Великое открытие Ньютона и Лейбница позволило исключить трудоемкий процесс перехода к пределу суммы площадей. Это было сделано благодаря новому взгляду на понятие площади. Суть в том, что мы должны представить площадь под кривой как порожденную ординатой, движущейся слева направо и спросить, с какой скоростью изменяется заметаемая ординатами площадь. Ключ к ответу на этот вопрос мы получим, если рассмотрим два частных случая, в которых площадь заранее известна.

Начнем с площади под графиком линейной функции y = 1 + x , поскольку в этом случае площадь можно вычислить с помощью элементарной геометрии.

Пусть A (x ) – часть плоскости, заключенная между прямой y = 1 + x и отрезком OQ (рис. 14). При движении QP вправо площадь A (x ) возрастает. С какой скоростью? Ответить на этот вопрос нетрудно, так как мы знаем, что площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований. Следовательно,

Скорость изменения площади A (x ) определяется ее производной

Мы видим, что A ў (x ) совпадает с ординатой у точки Р . Случайно ли это? Попробуем проверить на параболе, изображенной на рис. 15. Площадь A (x ) под параболой у = х 2 в интервале от 0 до х равна A (x ) = (1 / 3)(x )(x 2) = x 3 /3. Скорость изменения этой площади определяется выражением

которое в точности совпадает с ординатой у движущейся точки Р .

Если предположить, что это правило выполняется в общем случае так, что

есть скорость изменения площади под графиком функции y = f (x ), то этим можно воспользоваться для вычислений и других площадей. На самом деле, соотношение A ў (x ) = f (x ) выражает фундаментальную теорему, которую можно было бы сформулировать следующим образом: производная, или скорость изменения площади как функции от х , равна значению функции f (x ) в точке х .

Например, чтобы найти площадь под графиком функции y = x 3 от 0 до х (рис. 16), положим

Возможный ответ гласит:

так как производная от х 4 /4 действительно равна х 3 . Кроме того, A (x ) равна нулю при х = 0, как и должно быть, если A (x ) действительно является площадью.

В математическом анализе доказывается, что другого ответа, кроме приведенного выше выражения для A (x ), не существует. Покажем, что это утверждение правдоподобно с помощью следующего эвристического (нестрогого) рассуждения. Предположим, что существует какое-либо второе решение В (x ). Если A (x ) и В (x ) «стартуют» одновременно с нулевого значения при х = 0 и все время изменяются с одинаковой скоростью, то их значения ни при каком х не могут стать различными. Они должны всюду совпадать; следовательно, существует единственное решение.

Как можно обосновать соотношение A ў (x ) = f (x ) в общем случае? На этот вопрос можно ответить, лишь изучая скорость изменения площади как функции от х в общем случае. Пусть m – наименьшее значение функции f (x ) в интервале от х до (x + h ), а M – наибольшее значение этой функции в том же интервале. Тогда приращение площади при переходе от х к (x + h ) должно быть заключено между площадями двух прямоугольников (рис. 17). Основания обоих прямоугольников равны h . Меньший прямоугольник имеет высоту m и площадь mh , больший, соответственно, М и Mh . На графике зависимости площади от х (рис. 18) видно, что при изменении абсциссы на h , значение ординаты (т.е. площадь) увеличивается на величину, заключенную между mh и Mh . Угловой коэффициент секущей на этом графике находится между m и M . Что происходит, когда h стремится к нулю? Если график функции y = f (x ) непрерывен (т.е. не содержит разрывов), то и М , и m стремятся к f (x ). Следовательно, угловой коэффициент A ў (x ) графика площади как функции от х равен f (x ). Именно к такому заключению и требовалось придти.

Лейбниц предложил для площади под кривой y = f (x ) от 0 до а обозначение

При строгом подходе этот так называемый определенный интеграл должен быть определен как предел некоторых сумм на манер Валлиса. Учитывая полученный выше результат, ясно, что этот интеграл вычисляется при условии, что мы можем найти такую функцию A (x ), которая обращается в нуль при х = 0 и имеет производную A ў (x ), равную f (x ). Нахождение такой функции принято называть интегрированием, хотя уместнее эту операцию было бы называть антидифференцированием, имея в виду, что она является в некотором смысле обратной дифференцированию. В случае многочлена интегрирование выполняется просто. Например, если

в чем нетрудно убедиться, продифференцировав A (x ).

Чтобы вычислить площадь А 1 под кривой y = 1 + x + x 2 /2, заключенную между ординатами 0 и 1, мы просто записываем

и, подставляя х = 1, получаем A 1 = 1 + 1 / 2 + 1 / 6 = 5 / 3 . Площадь A (x ) от 0 до 2 равна A 2 = 2 + 4 / 2 + 8 / 6 = 16 / 3 . Как видно из рис. 19, площадь, заключенная между ординатами 1 и 2, равна A 2 – A 1 = 11 / 3 . Обычно она записывается в виде определенного интеграла

Объемы.

Аналогичные рассуждения позволяют удивительно просто вычислять объемы тел вращения. Продемонстрируем это на примере вычисления объема шара, еще одной классической задачи, которую древним грекам, с помощью известных им методов, удалось решить с великим трудом.

Повернем часть плоскости, заключенной внутри четверти круга радиуса r , на угол 360° вокруг оси х . В результате мы получим полушарие (рис. 20), объем которого обозначим V (x ). Требуется определить, с какой скоростью возрастает V (x ) с увеличением x . Переходя от х к х + h , нетрудно убедиться в том, что приращение объема меньше, чем объем p (r 2 – x 2)h кругового цилиндра радиуса и высотой h , и больше, чем объем p [r 2 – (x + h ) 2 ]h цилиндра радиуса и высотой h . Следовательно, на графике функции V (x ) угловой коэффициент секущей заключен между p (r 2 – x 2) и p [r 2 – (x + h ) 2 ]. Когда h стремится к нулю, угловой коэффициент стремится к

При x = r мы получаем

для объема полушария, и, следовательно, 4p r 3 /3 для объема всего шара.

Аналогичный метод позволяет находить длины кривых и площади искривленных поверхностей. Например, если a (x ) – длина дуги PR на рис. 21, то наша задача состоит в вычислении a ў(x ). Воспользуемся на эвристическом уровне приемом, который позволяет не прибегать к обычному предельному переходу, необходимому при строгом доказательстве результата. Предположим, что скорость изменения функции а (x ) в точке Р такая же, какой она была бы при замене кривой ее касательной PT в точке P . Но из рис. 21 непосредственно видно, при шаге h вправо или влево от точки х вдоль РТ значение а (x ) меняется на

Следовательно, скорость изменения функции a (x ) составляет

Чтобы найти саму функцию a (x ), необходимо лишь проинтегрировать выражение, стоящее в правой части равенства. Оказывается, что для большинства функций выполнить интегрирование довольно трудно. Поэтому разработка методов интегрального исчисления составляет большую часть математического анализа.

Первообразные.

Каждую функцию, производная которой равна данной функции f (x ), называют первообразной (или примитивной) для f (x ). Например, х 3 /3 – первообразная для функции х 2 , так как (x 3 /3)ў = x 2 . Разумеется, х 3 /3 – не единственная первообразная функции х 2 , так как x 3 /3 + C также является производной для х 2 при любой константе С . Однако мы в дальнейшем условимся опускать такие аддитивные постоянные. В общем случае

где n – положительное целое число, так как (x n + 1/(n + 1))ў = x n . Соотношение (1) выполняется в еще более общем смысле, если n заменить любым рациональным числом k , кроме –1.

Произвольную первообразную функцию для заданной функции f (x ) принято называть неопределенным интегралом от f (x ) и обозначать его в виде

Например, так как (sin x )ў = cos x , справедлива формула

Во многих случаях, когда существует формула для неопределенного интеграла от заданной функции, ее можно найти в многочисленных широко публикуемых таблицах неопределенных интегралов. Табличными являются интегралы от элементарных функций (в их число входят степени, логарифмы, показательная функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, а также их конечные комбинации, получаемые с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления). С помощью табличных интегралов можно вычислить интегралы и от более сложных функций. Существует много способов вычисления неопределенных интегралов; наиболее распространенный из них метод подстановки или замены переменной. Он состоит в том, что если мы хотим в неопределенном интеграле (2) заменить x на некоторую дифференцируемую функцию x = g (u ), то, чтобы интеграл не изменился, надо x заменить на g ў (u )du . Иначе говоря, справедливо равенство

(подстановка 2x = u , откуда 2dx = du ).

Приведем еще один метод интегрирования – метод интегрирования по частям. Он основан на известной уже формуле

Проинтегрировав левую и правую части, и учитывая, что

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример 2. Требуется найти . Так как cos x = (sin x )ў , мы можем записать, что

Из (5), полагая u = x и v = sin x , получаем

А поскольку (–cos x )ў = sin x мы находим, что и

Следует подчеркнуть, что мы ограничились лишь весьма кратким введением в весьма обширный предмет, в котором накоплены многочисленные остроумные приемы.

Функции двух переменных.

В связи с кривой y = f (x ) мы рассмотрели две задачи.

1) Найти угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке. Эта задача решается вычислением значения производной f ў (x ) в указанной точке.

2) Найти площадь под кривой над отрезком оси х , ограниченную вертикальными линиями х = а и х = b . Эта задача решается вычислением определенного интеграла .

Каждая из этих задач имеет аналог в случае поверхности z = f (x ,y ).

1) Найти касательную плоскость к поверхности в данной точке.

2) Найти объем под поверхностью над частью плоскости ху , ограниченной кривой С , а сбоку – перпендикулярами к плоскости xy , проходящими через точки граничной кривой С (см . рис. 22).

Следующие примеры показывают, как решаются эти задачи.

Пример 4. Найти касательную плоскость к поверхности

в точке (0,0,2).

Плоскость определена, если заданы две лежащие в ней пересекающиеся прямые. Одну из таких прямых (l 1) мы получим в плоскости xz (у = 0), вторую (l 2) – в плоскости yz (x = 0) (см . рис. 23).

Прежде всего, если у = 0, то z = f (x ,0) = 2 – 2x – 3x 2 . Производная по х , обозначаемая f ў x (x ,0) = –2 – 6x , при х = 0 имеет значение –2. Прямая l 1 , задаваемая уравнениями z = 2 – 2x , у = 0 – касательная к С 1 , линии пересечения поверхности с плоскостью у = 0. Аналогично, если х = 0, то f (0,y ) = 2 – y – y 2 , и производная по у имеет вид

Так как f ў y (0,0) = –1, кривая С 2 – линия пересечения поверхности с плоскостью yz – имеет касательную l 2 , задаваемую уравнениями z = 2 – y , х = 0. Искомая касательная плоскость содержит обе прямые l 1 и l 2 и записывается уравнением

Это – уравнение плоскости. Кроме того, мы получаем прямые l 1 и l 2 , полагая, соответственно, у = 0 и х = 0.

В том, что уравнение (7) действительно задает касательную плоскость, на эвристическом уровне можно убедиться, если заметить, что это уравнение содержит члены первого порядка, входящие в уравнение (6), и что члены второго порядка можно представить в виде –. Так как это выражение отрицательно при всех значениях х и у , кроме х = у = 0, поверхность (6) всюду лежит ниже плоскости (7), кроме точки Р = (0,0,0). Можно сказать, что поверхность (6) выпукла вверх в точке Р .

Пример 5. Найти касательную плоскость к поверхности z = f (x ,y ) = x 2 – y 2 в начале координат 0.

На плоскости у = 0 имеем: z = f (x ,0) = x 2 и f ў x (x ,0) = 2x . На С 1 , линии пересечения, z = x 2 . В точке O угловой коэффициент равен f ў x (0,0) = 0. На плоскости х = 0 имеем: z = f (0,y ) = –y 2 и f ў y (0,y ) = –2y . На С 2 , линии пересечения, z = –y 2 . В точке O угловой коэффициент кривой С 2 равен f ў y (0,0) = 0. Так как касательные к С 1 и С 2 являются осями х и у , касательная плоскость, содержащая их, есть плоскость z = 0.

Однако в окрестности начала координат наша поверхность не находится по одну сторону от касательной плоскости. Действительно, кривая С 1 всюду, за исключением точки 0, лежит выше касательной плоскости, а кривая С 2 – соответственно ниже ее. Поверхность пересекает касательную плоскость z = 0 по прямым у = х и у = –х . Про такую поверхность говорят, что она имеет седловую точку в начале координат (рис. 24).

Частные производные.

В предыдущих примерах мы использовали производные от f (x ,y ) по х и по у . Рассмотрим теперь такие производные в более общем плане. Если у нас имеется функция двух переменных, например, F (x ,y ) = x 2 – xy , то мы можем определить в каждой точке две ее «частные производные», одну – дифференцируя функцию по х и фиксируя у , другую – дифференцируя по у и фиксируя х . Первая из этих производных обозначается как f ў x (x ,y ) или ¶ f /¶ x ; вторая – как f f ў y . Если обе смешанные производные (по х и у , по у и х ) непрерывны, то ¶ 2f /¶ x ¶ y = ¶ 2f /¶ y ¶ x ; в нашем примере ¶ 2f /¶ x ¶ y = ¶ 2f /¶ y ¶ x = –1.

Частная производная f ў x (x ,y ) указывает скорость изменения функции f в точке (x ,y ) в направлении возрастания х , а f ў y (x ,y ) – скорость изменения функции f в направлении возрастания у . Скорость изменения функции f в точке (х ,у ) в направлении прямой, составляющей угол q с положительным направлением оси х , называется производной от функции f по направлению; ее величина представляет собой комбинацию двух частных производных от функции f в касательной плоскости почти равно (при малых dx и dy ) истинному изменению z на поверхности, но вычислить дифференциал обычно бывает легче.

Уже рассмотренная нами формула из метода замены переменной, известная как производная сложной функции или цепное правило, в одномерном случае, когда у зависит от х , а х зависит от t , имеет вид:

Для функций двух переменных аналогичная формула имеет вид:

Понятия и обозначения частного дифференцирования нетрудно обобщить на более высокие размерности. В частности, в случае если поверхность задана неявно уравнением f (x ,y ,z ) = 0, уравнению касательной плоскости к поверхности можно придать более симметричную форму: уравнение касательной плоскости в точке (x (x 2 /4)], затем интегрируется по х от 0 до 1. Окончательный результат равен 3/4.

Формулу (10) можно интерпретировать и как так называемый двойной интеграл, т.е. как предел суммы объемов элементарных «клеток». Каждая такая клетка имеет основание D x D y и высоту, равную высоте поверхности над некоторой точкой прямоугольного основания (см . рис. 26). Можно показать, что обе точки зрения на формулу (10) эквивалентны. Двойные интегралы используются для нахождения центров тяжести и многочисленных моментов, встречающихся в механике.

Более строгое обоснование математического аппарата.

До сих пор мы излагали понятия и методы математического анализа на интуитивном уровне и, не колеблясь, прибегали к геометрическим фигурам. Нам осталось кратко рассмотреть более строгие методы, появившиеся в 19 и 20-м столетиях.

В начале 19 в., когда эпоха штурма и натиска в «создании математического анализа» завершилась, на первый план вышли вопросы его обоснования. В работах Абеля, Коши и ряда других выдающихся математиков были точно определены понятия «предела», «непрерывной функции», «сходящегося ряда». Это было необходимо для того, чтобы внести логический порядок в основание математического анализа с тем, чтобы сделать его надежным инструментом исследования. Потребность в тщательном обосновании стала еще более очевидной после открытия в 1872 Вейерштрассом всюду непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций (график таких функций в каждой своей точке имеет излом). Этот результат произвел ошеломляющее впечатление на математиков, поскольку явно противоречил их геометрической интуиции. Еще более поразительным примером ненадежности геометрической интуиции стала построенная Д.Пеано непрерывная кривая, целиком заполняющая некоторый квадрат, т.е. проходящая через все его точки. Эти и другие открытия вызвали к жизни программу «арифметизации» математики, т.е. придания ей большей надежности путем обоснования всех математических понятий с помощью понятия числа. Почти пуританское воздержание от наглядности в работах по основаниям математики имело свое историческое оправдание.

По современным канонам логической строгости недопустимо говорить о площади под кривой y = f (x ) и над отрезком оси х , даже если f – непрерывная функция, не определив предварительно точный смысл термина «площадь» и не установив, что определенная таким образом площадь действительно существует. Эта задача была успешно решена в 1854 Б.Риманом, который дал точное определение понятия определенного интеграла. С тех пор идея суммирования, стоящая за понятием определенного интеграла, была предметом многих глубоких исследований и обобщений. В результате сегодня удается придать смысл определенному интегралу, даже если подынтегральная функция является повсюду разрывной. Новые понятия интегрирования, в создание которых большой вклад внес А.Лебег (1875–1941) и другие математики, приумножили мощь и красоту современного математического анализа.

Вряд ли было бы уместно входить в детали всех этих и других понятий. Ограничимся лишь тем, что приведем строгие определения предела и определенного интеграла.

В заключение скажем, что математический анализ, являясь крайне ценным инструментом в руках ученого и инженера, и сегодня привлекает внимание математиков как источник плодотворных идей. В то же время современное развитие как будто свидетельствует и о том, что математический анализ все более поглощается такими доминирующими в 20 в. разделами математики, как абстрактная алгебра и топология.

Согласно словарю русского языка анализ – это метод научного исследования путём рассмотрения отдельных сторон, свойств, составных частей чего-нибудь. Один из важнейших разделов математики называется математическим анализом , а часто даже просто анализом. Сразу возникает вопрос: что же именно анализируется математическим анализом ? Ответ однозначен – анализу подвергаются функции . Функция (от латинского «функцио» – осуществление) представляет собой зависимость между переменными числовыми величинами .

Поскольку анализ – это метод исследования, возникает второй вопрос: в чём заключается этот метод ? Ответ даёт второе название математического анализа – дифференциальное и интегральное исчисление . Исчислением называется раздел математики, излагающий правила вычислений. Слово «дифференциал » происходит от латинского слова «дифференция», т. е. разность . Слово «интеграл » не имеет такого ясного происхождения («интегер» – целый; «интегро» – восстанавливать), но оно имеет смысл объединения частей в целое, восстановления разбитого на разности. Такое восстановление достигается с помощью суммирования .

Подведём первые итоги:

· Главными объектами , изучаемыми в математическом анализе являются функции .

· Функции – это зависимости различного вида между переменными числовыми величинами .

· Методом математического анализа является дифференцирование – работа с разностями значений функций, и интегрирование – вычисление сумм.

Таким образом, для освоения математического анализа, прежде всего, нужно разобраться с понятием функции. Функция является важнейшим математическим понятием, поскольку функции представляют собой математический способ описания движения и изменения. Функция – это процесс .

Самым важным видом движения является механическое движение по прямой. При движении измеряются расстояния, пройденные объектом, но этого явно недостаточно для полного описания движения. И Ахиллес, и черепаха могут удалиться от исходной точки на одинаковое расстояние, но их движение различается по скорости, а скорость нельзя измерить без измерения времени.

Уже из рассмотрения этого примера становится понятным, что для описания движения и изменения недостаточно одной переменной. Интуитивно ясно, что время меняется равномерно, а расстояние может меняться то быстрее, то медленнее. Движение полностью описано, если в каждый момент времени известно, на какое расстояние объект удалился от точки старта. Итак, при механическом движении возникает соответствие между значениями двух переменных величин – времени, которое меняется независимо ни от чего, и расстояния, которое зависит от времени. Этот факт положен в основу определения функции. При этом две переменные уже не называют временем и расстоянием.

Определение функции: функция – это правило или закон , ставящий каждому значению независимой переменной величины х определённое значение зависимой переменной у . Независимая переменная х называется аргументом, а зависимая у – функцией. Иногда говорят, что функция – это зависимость между двумя переменными.

Как наглядно представить, что такое переменная величина? Переменная – это числовая прямая (линейка или шкала), по которой движется точка (термометр или спица с бусинкой). Функция – это механизм из шестерёнок с двумя окошечками х и у. Этот механизм позволяет установить в окошечке х любое значение, а в окошечке у автоматически появится с помощью шестерёнок значение функции.

Задача 1 . Больному измеряют температуру каждый час. Существует функция – зависимость температуры от времени. Как представить эту функцию? Ответ : таблица и график.

Функция непрерывна, как непрерывно движение, но на практике невозможно зафиксировать эту непрерывность. Можно поймать только отдельные значения аргумента и функции. Однако теоретически непрерывность описать всё же удаётся.

Задача 2 . Галилео Галилей обнаружил, что свободно падающее тело за первую секунду проходит единицу расстояния, за вторую – 3 единицы, за третью – 5 и т. д. Определить зависимость времени от расстояния. Указание : вывести общую формулу зависимости пройденного пути от номера расстояния.

Способы задания функций.

Задачи математического анализа .

Переход от одного представления функции к другому (вычисление значений функции, построение приближенных аналитических функций по экспериментальным числовым и графическим данным, исследование функций и построение графиков).

Математическое изучение свойств функции как процесса. Пример 1: поиск скорости по известной функции пути от времени (дифференцирование). Пример 2: поиск пути по известной функции скорости от времени (интегрирование).

	\|	следующая лекция ==>
Твор.п.: Тетрáди проверяютсяХ (кем?) учúтелем	\|

Лейбниц и его ученики

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку , Лопиталь придаёт большое значение величине

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же к не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении диаметра ордината сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал сначала положителен по сравнению с , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, , тогда в силу первого требования

;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что равен нулю в точке максимума, будучи разделён на .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при . Тогда точка кривой с имеет ординату , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая и , он получает

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона - формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой , называется его интегралом и обозначается знаком , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

коэффициенты которого будут новыми функциями . Остаётся назвать производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

поэтому коэффициент является удвоенной производной производной , то есть

и т. д.

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

Дальнейшее развитие

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела через ε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественных чисел . В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции , заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры , а Кантор - теорию множеств , и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка нестандартного анализа как альтернативного подхода к обоснованию анализа.

Разделы математического анализа

Метрическое пространство , Топологическое пространство

См. также

Библиография

Энциклопедические статьи

// Энциклопедический лексикон : Спб.: тип. А. Плюшара, 1835-1841. Том 1-17.

// Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : В 86 томах (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна , затем в 1930-х перенесён на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) и задачник.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математике, т. 1-5.

Некоторые ВУЗы имеют собственные руководства по анализу:

МГУ , МехМат:

Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.

В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова . - 3-е изд. , перераб. и доп. - М .: Проспект, 2006. - ISBN 5-482-00445-7

МГУ , физфак:

Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). - М .: Физматлит, 2005. - 648 с. - ISBN 5-9221-0536-1
Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах

Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

СПбГУ , физфак:

Смирнов В. И. Курс высшей математики, в 5 томах. М.: Наука, 1981 (6-е издание), БХВ-Петербург, 2008 (24-е издание).

НГУ , мехмат:

Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с ISBN 5-86134-066-8 .
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6 .
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 440 с ISBN 5-86134-086-2 .
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7 .
Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, : Часть 1. Функции одной переменной , Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных .

МФТИ , Москва

Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в трех томах).

БГУ , физфак:

Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу (в двух частях). - Минск: БГУ, 1974. - 357 с.

Учебники повышенной сложности

Учебники:

Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 - небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1 , Часть 2 , 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Учебники для гуманитарных специальностей

А. М. Ахтямов Математика для социологов и экономистов. - М. : Физматлит, 2004.
Н. Ш. Кремер и др. Высшая математика для экономистов. Учебник. 3-е изд. - М. : Юнити, 2010

Задачники

Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. - 20-е изд. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 384 с.
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высш.шк, 1986.
Г. И. Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1966.
И. А. Каплан. Практические занятия по высшей математике, в 5 частях.. - Харьков, Изд. Харьковского гос. ун-та, 1967, 1971, 1972.
А. К. Боярчук, Г. П. Головач. Диференциальные уравнения в примерах и задачах. Москва. Едиториал УРСС, 2001.
А. В. Пантелеев, А. С. Якимова, А. В. Босов. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. «МАИ», 2000
А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. ВШ, 1989.
К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю.А Шевченко. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. - 7-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008.
И. А. Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (Функции одной переменной). - М., Физматлит, 1970.
В. Д. Черненко. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т. - СПб.: Политехника, 2003.

Справочники

Классические произведения

Сочинения по истории анализа

Кестнер, Авраам Готтгельф . Geschichte der Mathematik. 4 тома, Геттинген, 1796-1800
Кантор, Мориц . Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1 , Bd. 2 , Bd. 3 , Bd. 4
История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):

Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960

Примечания

Ср., напр.,курс Cornell Un
Ньютон И. Математические работы . M, 1937.
Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220-226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166-173.
Лопиталь. Анализ бесконечно малых . М.-Л.:ГТТИ, 1935. (Далее: Лопиталь) // Мат. анализ на EqWorld
Лопиталь, гл. 1, опр. 2.
Лопиталь, гл. 4, опр. 1.
Лопиталь, гл. 1, требование 1.
Лопиталь, гл. 1, требование 2.
Лопиталь, гл. 2, опр.
Лопиталь, § 46.
Лопиталь беспокоится о другом: для него длина отрезка и нужно пояснить, что значит её отрицательность. Замечание, сделанное в § 8-10, можно даже понять так, что при убывании с ростом следует писать , однако далее это не используется.
Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
См.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23)
См. Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций , Учпедгиз, 1944. С. 21 и сл.; Koenig F. Kommentierender Anhang zu Funktionentheorie von F. Klein . Leipzig: Teubner, 1987; а также Исторический очерк в статье Функция
Эйлер. Введение в анализ . Т. 1. Гл. 1, § 4
Эйлер. Введение в анализ . Т. 1. Гл. 1, § 6

«…если бы мне пришлось создавать механизм с единственной целью разрушить природное любопытство ребенка и его любовь к моделированию, вряд ли бы у меня получилось лучше, чем это уже реализовано - у меня бы просто не хватило фантазии, чтобы тягаться с такими бесчувственными, унылыми идеями, которые воплощены в современных методах изучения математики».

Представьте изучение изобразительного искусства так: Детки, никакого рисования в детском садике. Вместо этого, давайте-ка изучим химию лакокрасочных изделий, физику света и анатомию глаза. После 12 лет изучения этих аспектов, если дети (точнее уже подростки) всё еще не возненавидят искусство, они смогут начать рисовать самостоятельно. В конечном итоге, они теперь владеют полноценным фундаментом для того, чтобы начать уважать искусство. Верно?

Также и с поэзией. Представьте изучение этой цитаты (формулы):

«Но главное: будь верен сам себе; Тогда, как вслед за днем бывает ночь, Ты не изменишь и другим.» -Вильям Шекспир, Гамлет

Это элегантный способ сказать «будь собой» (и если это означает непочтительно писать о математике, пусть будет так). Но если бы мы рассматривали поэзию на уроке математики, вместо поиска смысла мы бы занялись подсчётом количества слогов, анализировали пятистопный ямб, разметкой существительных, глаголов и прилагательных.

Математика и поэзия - это как разные способы пояснить, охарактеризовать одно и то же. Формулы - это средства к достижению цели, способ выражения математической истины.

Мы забыли, что математика оперирует идеями, это не машинальное маниппулирование формулами, которые выражают эти идеи.

Ну это всё понятно, так в чем же твоя великая мысль?

Вот, что я не буду делать: я не буду пересказывать уже написанные учебники. Если вам нужны ответы здесь и сейчас, есть масса вебсайтов , видеоуроков и 20-минуток в помощь.

Вместо этого давайте освоим основные положения матанализа. Уравнений недостаточно - я хочу моментов озарения, чтобы вы действительно видели их смысл и понимали язык математики.

Формальный математический язык - это просто способ коммуникации. Графики, информативные анимированные модели и разговор простым языком могут дать больше знаний, чем целая страница заумных доказательств.

Но матанализ - это сложно!

Я думаю, что любой человек сможет понять основные положения матанализа. Нам не обязательно быть поэтами, чтобы наслаждаться произведениями Шекспира.

Вам будет гораздо проще, если вы знаете алгебру и интересуетесь математикой. Не так давно, чтение и письмо были работой специально обученных писцов. А сегодня это может сделать любой 10-летний ребенок. Почему?

Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в развитии возможностей. Так что ожидайте, что матанализ - это просто еще один предмет. Некоторые люди доходят до мельчайших подробностей (писатели/математики). Но остальные из нас могут просто восторгаться происходящим и попытаться его понять. Я бы хотел, чтобы каждый освоил основные понятия матанализа и сказал «Вот это да!».

Так о чем же матанализ?

Это был простой пример, но вы уловили основную идею? Мы взяли диск, разделили его, и сложили части вместе немного другим путем. Матанализ показал, что диск и кольцо тесно связаны друг с другом: диск - это действительно набор колец. Это очень популярная тема в матанализе: Большие предметы состоят из более мелких предметов. И иногда именно с этими мелкими предметами работается проще и понятнее.

Немного о примерах

Множество примеров в матанализе основано на физике. Это, конечно, замечательно, но бывает сложно их воспринимать: честно, далеко не всегда удается держать в голове разные физические формулы вроде формулы скорости объекта.

Я предпочитаю начать с простых визуальных примеров, потому что именно так и работает наш мозг. Кольцо/круг, которое мы исследовали - вы бы могли смоделировать то же самое из нескольких отрезков трубок разного диаметра: разделить их, выровнять и уложить в грубый треугольник, чтобы убедиться, что математика действительно работает. С простой физической формулой такое вряд ли удастся провернуть.

Немного о математической строгости (для фанатиков этой науки)

Я чувствую, как математики-педанты жгут свои клавиатуры. Поэтому я вставлю всего несколько слов о «строгости». Знаете ли вы, что мы не учим матанализ способами, которыми его открыл Ньютон или Лейбниц? Они использовали интуитивные идеи «флюксии» и «бесконечно малых величин», которые были заменены пределами, потому что «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».

Мы создали сложные механические модели, чтобы «точно» доказать матанализ, но мы утратили интуитивное восприятие предмета в процессе таких доказательств.

Мы смотрим на сладость сахара с точки зрения химии мозга, вместо того, чтобы пояснять это языком науки «В сахаре много энергии. Ешьте его».

Я не хочу (и не могу) преподавать матанализ студентам или обучать ученых. Но будет ли плохо, если каждый сможет понимать матанализ на том «неточном» уровне, на котором его понимал Ньютон? Чтобы это также изменило мир для вас, как когда-то изменило для него?

Преждевременная концентрация на точности рассредоточивает учеников и делает математику сложной для изучения. Вот хороший пример: число е технически определено пределом, но открыто оно было именно с помощью интуитивной догадки о росте . Натуральный логарифм может выглядеть как интеграл, или время, которому нужно расти . Какие объяснения лучше помогут новичкам?

Давайте немного порисуем от руки, а в химию погрузимся уже по ходу дела. Приятных вычислений.

(P.S: Один любезный читатель создал анимированное слайд-шоу powerpoint , которое помогает презентовать эту идею более наглядно (лучше посмотреть ее в PowerPoint, там будут видны анимации). Спасибо!)

9 октября 2015

Составитель Ю.В.Обрубов

Калуга - 2012

Введение в математический анализ.

Действительные числа. Переменные и постоянные величины.

Одним из основных понятий математики является число. Положительные числа 1,2,3, … , которые получаются при счете, называются натуральными. Числа … -3,-2,-1,0,1,2,3,… называют целыми. Числа, которые могут быть представлены в виде конечного отношения двух целых чисел (
) называютсярациональными. К ним относятся целые и дробные, положительные и отрицательные числа. Числа, которые представляются бесконечными непериодическими дробями называются иррациональными. Примерами иррациональных чисел служат
,
. В множестве иррациональных чисел выделяюттрансцендентные числа. Это числа, которые являются результатом неалгебраических действий. Наиболее известными из них являются число и неперово число. Числа рациональные и иррациональные называютсядействительными . Действительные числа изображаются точками на числовой оси. Каждой точке на числовой оси соответствует одно единственное действительное число и, наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси. Таким образом, между действительными числами и точками числовой прямой установлено взаимно-однозначное соответствие. Это дает возможность равнозначно употреблять термины “число а” и “точка а”.

В процессе изучения различных физических, экономических, социальных процессов часто приходится иметь дело с величинами, представляющими численные значения параметров исследуемых явлений. При этом одни из них изменяются, а другие сохраняют свои значения.

Переменной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численное значение которой не изменяется в данной задаче или эксперименте называетсяпостоянной. Переменные величины обычно обозначают латинскими буквами
а постоянные
.

Переменная величина считается заданной, если известно множество значений, которые она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной.

Существуют различные виды множеств значений числовой переменной величины.

Интервалом называется множество значений х, заключенных между числамиaиb, при этом числаaиbне принадлежат рассматриваемому множеству. Интервал обозначают: (a,b);a

Отрезком называется множество значений х, заключенных между числами а иb, при этом числа а иbпринадлежат рассматриваемому множеству. Отрезок обозначают ,a≤x≤b.

Множество всех действительных чисел является открытым интервалом. Обозначается: (- ∞,+ ∞), -∞ <х <+∞, R.

Окрестностью точки х 0 называется произвольный интервал (а,b), содержащий точку х 0 , все точки этого интервала удовлетворяют неравенствуa

ε - окрестностью точки а называется интервал с центром в точке а, удовлетворяющий неравенствуa–ε

Функция. Основные определения и понятия.

Функция является одним из основных понятий математического анализа. Пусть Х и У произвольные множества действительных чисел.

Если каждому числу х Х по некоторому правилу или закону постав-лено в соответствие единственное вполне определенное действительное число уУ, то говорят, что заданафункция с областью определения Х и множеством значений У. Обозначают у =f(х). Переменная величина х называетсяаргументом функции.

В определении функции существенны два момента: указание области определения и установление закона соответствия.

Областью определения или областью существования функции называется множество значений аргумента при которых функция существует, то есть имеет смысл.

Областью изменения функции называется множество значений у, которые он принимает при допустимых значениях х.

Способы задания функции.

Аналитический способ задания функции.

При этом способе задания функции закон соответствия записывается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей посредством каких математических преобразований по известному значению аргумента х можно найти соответствующее значение у.

Функция может быть задана одним аналитическим выражением на всей своей области определения или представлять совокупность нескольких аналитических выражений.

Например: у = sin (x 2 + 1)

2. Табличный способ задания функции

В результате непосредственного наблюдения или экспериментального изучения какого-либо явления или процесса в определенном порядке выписываются значения аргумента х и соответствующие им значения у.

Эта таблица определяет функцию у от х.

Примером табличного способа задания функции могут служить таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов, даты и курсы валют, температура и влажность воздуха и т.д.

3. Графический способ задания функции.

Графический способ задания функции состоит в изображении на координатной плоскости точек (х, у) посредством технических устройств. Графическим способом задания функции в математическом анализе не пользуются, но к графической иллюстрации аналитически заданных функций прибегают всегда.