Выбор читателей
Популярные статьи
Простейшим д.у.1 является уравнение вида Как известно из курса интегрального исчисления, функцияy находится интегрированием
Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением сразделенными переменными. Его можно записать в виде
Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение).
Пример.
Решение.
Запишем уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:
(общий интеграл дифференциального
уравнения).
Определение. Уравнение вида называется уравнениемс разделяющимися переменными, если функции можно представить в виде произведения функций
т. е. есть уравнение имеет вид
Чтобы решить
такое дифференциальное уравнение, нужно
привести его к виду дифференциального
уравнения с разделенными переменными,
для чего разделим уравнение на
произведение
Действительно, разделив все члены
уравненияна произведение
,
–дифференциальное уравнение с разделенными переменными.
Для решения его достаточно почленно проинтегрировать
При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных.
Первый шаг.
Если дифференциальное уравнение
содержит производную
,
ее следует записать в виде отношения
дифференциалов:
Второй шаг.
Умножим уравнение на
,
затем сгруппируем слагаемые, содержащие
дифференциал функции и дифференциал
независимой переменной
.
Третий шаг.
Выражения,
полученные при
,
представить в виде произведения двух
множителей, каждый из которых содержит
только одну переменную (
).
Если после этого уравнение примет видто, разделив его
на произведение
,
получим дифференциальное уравнение с
разделенными переменными.
Четвертый шаг. Интегрируя почленно уравнение, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл).
Рассмотрим уравнения
№ 2.
№ 3.
Дифференциальное
уравнение № 1 является дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными,
по определению. Разделим уравнение на
произведение
Получим уравнение
Интегрируя, получим
или
Последнее соотношение есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.
В дифференциальном
уравнении № 2 заменим
умножим на
,
получим
общее решение дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение № 3 не является уравнением с разделяющимися переменными, т. к., записав его в виде
или
,
видим, что выражение
в виде произведения двух множителей
(один –
только с y, другой – только с х ) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными.
Пример № 4
.
Дано уравнение
Преобразуем уравнение, вынося общий
множитель слева
Разделим левую и правую части уравнения
на произведение
получим
Проинтегрируем обе части уравнения:
откуда
– общий интеграл данного уравнения.
(а)
Заметим, что если
постоянную интегрирования записать в
виде
,
то общий интеграл данного уравнения
может иметь другую форму:
или
– общий интеграл.
(б)
Таким образом,
общий интеграл одного и того же
дифференциального уравнения может
иметь различную форму. Важно в любом
случае доказать, что полученный общий
интеграл удовлетворяет данному
дифференциальному уравнению. Для этого
нужно продифференцировать по х
обе части
равенства, задающего общий интеграл,
учитывая, что y
есть функция
от х
.
После исключения с
получим одинаковые дифференциальные
уравнения (исходное). Если общий
интеграл
,
(вид (а
)),
то
Если общий интеграл
(вид (б)), то
Получим то же уравнение, что и в предыдущем случае (а).
Рассмотрим теперь простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y является функцией аргумента x .
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ .
Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является .
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести .
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .
Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
К выполнению контрольной работы №3
Указания
(темы 12-16)
Тема 12. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Пискунов, гл. VIII, § 1-8, упр. 1-68
Данко, часть II, гл. IV, §1
12.1 Определение дифференциального уравнения первого порядка.
1.Определение . Равенство, связывающее независимую переменную х , функцию у и производные (или дифференциалы) этой функции называются дифференциальным уравнением первого порядка (DY 1) т.е.
F (x,y,y")=0 или y"=f (x,y)
Решить дифференциальное уравнение первого порядка – значит, найти неизвестную функцию y .
2.Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y= j (x,c) , где C - постоянная, которая при подстановке в дифференциальное уравнение первого порядка обращает его в тождество. На плоскости XOY общее решение y=j(x,c) выражает семейство интегральных кривых.
3. Всякое решение y= j (x,С 0) полученное из общего решения при конкретном значении С=С 0 называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.
4. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющего начальному условию
Или , или
|
5. -ДУ 1 с разделяющимися переменными.
6. - ОДУ 1 – однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка или , где , - однородные функции одного измерения. Используется подстановка
7. , где . ДУ 1 , приводимое к однородному подстановкой
Где - точка пересечения прямых
Если , то используется подстановка
8. , где - называется уравнением в полных дифференциалах.
Где - полный дифференциал функции
Решить данное уравнение- значит, найти функцию и .
9. - линейное ДУ 1 (ЛДУ 1)
Если , то уравнение неоднородное,
Если , то уравнение однородное.
ЛДУ 1 интегрируются:
1) Методом Бернулли (с помощью подстановки y = иv , где u и v -пока неизвестные функции)
2) Методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную.
10. , где m - число, m¹0 , m¹1 - дифференциальное уравнение Бернулли, решаемое либо с помощью подстановки y= uv , либо методом Лагранжа (см. пункт 9).
12.2. Примеры решения задач.
Задача 1. Найти частное решение ДУ 1 , удовлетворяющему начальному условию .
Решение : Данное уравнение с разделяющимися переменными.
Т.к. , то уравнение примет вид:
Или - после отделения переменных.
Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
Или -общее решение
Используя начальное условие , , находим . Тогда из общего решения выделяется частное решение:
Задача 2.
Решение: Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных x и y . Применяем подстановку y=xt , где t - некоторая функция аргумента x . Если y= xt , то дифференциал dy = d(xt) = tdx+ xdt , и данное уравнение примет вид:
2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0
Сократив на x² , будем иметь:
2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0
2tdx+(t²-1) tdx+x (t²-1)dt=0
t(2+t²-1) dx+x (t²-1)dt=0
t(1+t²)dx= x(1-t²)dt; .
Мы получили уравнение с разделёнными переменными относительно x и t . Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Потенцируя, находим , или x(1+t²)=Ct . Из введённой подстановки следует, что . Следовательно, или x²+y²= Cy – общее решение данного уравнения.
Задача 3. Найти общее решение уравнения y"-y tg x=2 xsec x.
Решение: Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию y и её производную y" в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку y= uv , где u и v –некоторые неизвестные функции аргумента x . Если y=uv , то y"= (uv)"= u"v+uv" и данное уравнение примет вид: u"v+uv"-uvtg x= 2x sec x,
v(u"-utg x)+ uv"= 2xsec x. (1)
Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части неравенства (1), обращалось в нуль, т.е выберем функцию u так, чтобы имело место равенство
u"-utg x= 0 (2)
При таком выборе функции u уравнение (1) примет вид
uv"= 2x sec x. (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим это уравнение:
ln u= -ln cos x , или
(Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной C=0.) Подставив в (3) найденное выражение для u, получим:
secxv"= 2xsecx; v"= 2x; dv= 2xdx. Интегрируя, получаем v=x²+C . Тогда y=secx(x²+C) - общее решение данного уравнения.
12.3.Вопросы для самоконтроля.
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Как определяется порядок уравнения? Примеры.
3. Что значит решить ?
4. Какая функция называется решением ?
5. Какое решение называется общим, частным?
6. Как найти частное решение по начальным условиям? Записать план операций, выполняемых при решении на примере y"- 2x= 0 при начальных условиях y (-2)= 4.
7. Сформулировать геометрический смысл общего и частного решения .
Дифференциальное уравнение - это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.
В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.
Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.
Часть 1
Уравнения первого порядкаПри использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.
Эту страницу просматривали 69 354 раз.
Была ли эта статья полезной?
Дифференциальное уравнение (ДУ)
- это уравнение ,
где - независимые переменные, y
- функция и - частные производные.
Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .
Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.
Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.
Вот пример уравнения первого порядка:
Вот пример уравнения четвертого порядка:
Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:
В этом случае переменные x
и y
являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x
так и y
.
В первом случае y
является функцией от x
.
Во втором случае x
является функцией от y
.
Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′
.
Разделив это уравнение на dx
,
мы получим:
.
Поскольку и ,
то отсюда следует, что
.
Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:
Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .
Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Статьи по теме: | |
Норманны и нормандцы. В чём разница? Норманны Почему норманны
Слово «викинг» восходит к древненорвежскому «викингр». Относительно его... Эпидемия: определение. БЖД. Общие сведения об эпидемиях. Причины возникновения эпидемических очагов. Возбудители инфекции Эпидемии причины возникновения
Эпидемия – быстрое распространение инфекционной болезни среди населения,... Институциональная теория торстейна веблена
Помимо этого, мотивом к накоплению является власть, даруемая богатством.... |